Modap's Lab

2. 저항(R), 인덕터(L), 커페시터(C) 값 계산 실습

 이번 포스팅에서는 지난번 포스팅에 이어 저항, 인덕터, 커패시터의 직·병렬 계산 실습이다.

저항, 인덕터, 커패시터 각각 직·병렬된 회로 두개씩 실습을 할 것이다.

1) 저항의 계산

 첫번째 저항의 회로는 다음과 같이 저항 R1과 R2//R3로 묶인 병렬 저항, 그리고 R4//R5//R6로 묶인 병렬저항이 직렬로 연결되어 있다.

이 회로의 전체 저항은 몇일까?

 이전 포스팅에서 설명 하였듯이 직렬로 연결된 저항은 저항값의 덧샘으로 구할수 있었다. 그러나 병렬로 연결된 저항은 저항값의 역수를 취하고 계산을 시도했는데 회로를 잘 보면 R2와 R3가 같은 값을 가지고 있고, R4와 R5, R6도 마찬가지로 같은 저항값을 가지고 있다. 이러한 경우는 저항값에서 저항의 갯수만큼 나눈다고 지난 포스팅에서 설명 하였다. 그렇다면 R2//R3의 병렬연결은 2k / 2이고 R4//R5//R6의 병렬연결은 3k / 3일 것이다.

즉 각각의 병렬연결은 1k의 저항값을 가지게 되며 저항 R1과 각각의 병렬연결의 저항값을 더하면 1k + 1k + 1k의 식이 도출된다.

따라서 회로의 전체 저항은 3k의 저항값을 갖는다

 다음의 회로도 이전회로와 마찬가지로 저항 R1과 R2//R3로 묶인 병렬 저항, 그리고 R4//R5//R6로 묶인 병렬저항이 직렬로 연결되어 있다.

하지만 이전회로와 다르게 병렬연결된 저항들의 저항값이 다른 값을 가지고 있다. 이럴경우 회로의 전체 저항은 어느정도의 저항값을 가지고 있을까?

 이 회로도 마찬가지로 먼저 병렬연결된 저항들의 저항값을 구하고 직렬연결된 저항값을 더하여 전체 저항값을 구하면 된다.

먼저 R2//R3의 병렬 저항값을 구해보겠다. 이전 포스팅에서 두개의 저항이 병렬연결되었을때의 식을 도출해 보았다. 그 식은 다음과 같다.

 R2의 저항값과 R3의 저항값을 식에 대입하면 4.5k / 4.5k의 식이 나오고 이를 계산하면 1k가 된다. 그리고 R4//R5//R6의 병렬저항값을 계산할때는 3개의 저항값을 한번에 계산하는 것보다 두개씩 묶어서 두번 계산하는 것이 더 쉽다. 먼저 R4//R5의 저항값을 구하면 R4와 R5는 각각 동일한 저항값을 가지고 있다. 그러므로 R4//R5는 4k / 2가 될것이고 즉 2k의 저항값을 갖는다. R4//R5의 저항값을 알았으므로 이번에는 R4//R5와 R6의 병렬 저항값을 구하면 된다. R4//R5는 2k이였으며 R6도 마찬가지로 2k의 저항값을 가지고 있다. 이번에도 마찬가지로 같은 2k의 저항값을 가지고 있으므로 2k / 2를 통하여 R4//R5와 R6의 병렬저항은 1k를 갖는다는 것을 알 수 있다. 즉 저항 R1과 R2//R3, 그리고 R4//R5//R6는 각각 1k의 저항값을 갖는다는 것을 보았다. 따라서 회로의 전체 저항은 1k + 1k + 1k를 하여 3k의 전체 저항을 갖는다.

2) 인덕터의 계산

 첫번째 인덕터의 회로는 다음과 같이 L1과 L2, L3가 직렬 연결되어있다.

이 회로의 전체 인덕턴스은 얼마의 인덕턴스를 갖을까?

 인덕터의 계산은 이전 포스팅에서 저항과 똑같이 계산한다고 설명하였다. 그러므로 인덕터 L1~L3가 직렬연결 되어있기 때문에 10uH + 10uH + 10uH를 하여 전체 인덕턴스는 30uH를 갖음을 알 수있다.

 다음의 회로는 인덕터 L1과 L2가 병렬연결 되어있고 이 병렬연결과 L3의 인덕터가 직렬연결 되어있다.

이번 회로의 전체 인덕턴스는 어떻게 될까?

 이번 회로도 저항의 계산과 같이 인덕터 L1과 L2의 병렬연결을 구하고 L3와의 직렬연결 계산을 통하여 계산해야한다. 인덕터 L1과 L2는 각자 10uH라는 동일한 인덕턴스를 가지고 있다. 이때도 마찬가지로 동일한 저항값들의 병렬연결과 같이 계산하면 된다. 인덕턴스 10uH를 가지는 인덕터 2개이므로 10u / 2가 될것이고 즉 병렬연결은 5uH의 인덕턴스를 갖을 것이다. 이를 인덕터 L3와 직렬연결하면 총 15uH의 인덕턴스를 갖게된다.

3) 커패시터의 계산

 첫번째 커패시터 회로는 다음과 같이 C1과 C2, C3가 직렬 연결되어있다.

이 회로의 전체 커패시턴스은 얼마의 커패시턴스를 갖을까?

 커퍼시터의 커패시턴스 계산은 이전 포스팅에서 저항과 반대의 계산을 한다고 설명 하였다. 즉 커패시터의 직렬연결은 저항의 병렬연결과 같이 계산한다.

따라서 C1과 C2, C3의 커패시턴스의 역수를 더해 그 수를 다시 역수를 취하게 된다. 하지만 본 회로에서는 각각의 커패시터들이 동일한 커패시턴스를 갖고있다. 그러므로 동일한 저항값을 가지는 저항들의 병렬연결 처럼 계산하면 된다. 각각의 커패시터가 3uF의 커패시턴스를 갖고 있으므로 3u / 3을 하여 회로의 전체 커패시턴스는 1uF를 갖는다는 것을 알 수 있다.

 두번째 회로에서는 커패시터 C1과 C2가 병렬연결되어있고 나머지 C3가 직렬연결 되어있다. 이번 회로에서도 지난번들과 같이 병렬연결을 먼저 계산하고 직렬 연결을 계산하게 된다. 

 커패시터의 직렬 연결은 저항의 직렬연결과 같이 계산하게 된다. 그러므로 C1과 C2의 병렬연결은 3u + 3u가 되어 C1//C2는 6uF의 커패시턴스를 갖는다. 이 커패시턴스와 C3의 커패시턴스를 직렬연결하면 다음과 같은 식으로 계산한다.

 그러므로 (6u * 3u) / (6u + 3u)의 식이 도출되고 이를 계산하면 2u가 나온다. 즉 이번 회로의 전체 커패시턴스는 2uF이 됨을 알 수 있다.

 이번 포스팅에서는 저항, 인덕터, 커패시터들의 직·병렬 연결에서의 값들을 계산해 보았다. 단순한 수치계산이라 소홀히 넘어갈수 있지만 각 수동소자들의 직·병렬 연결은 회로를 설계할 때 매우 중요하게 작용한다. 저항의 병렬연결은 대전류 회로에서 전류분배를 통하여 소자에 걸리는 부하를 최소화 할 수 있으며 커패시터의 병렬연결을 통하여 저용량의 커패시터를 병렬연결하여 대용량의 커패시터를 만들수 있다. 다음 포스팅에서는 소자에 걸리는 전력값을 계산해보고 저항들의 병렬연결된 회로의 등가 저항을 구해보겠다.

1. 저항(R), 인덕터(L), 커페시터(C) 값 계산

 이번 포스팅에서는 저항, 인덕터, 커패시터의 직·병렬 계산을 해볼것이다.

1) 저항의 직렬, 병렬

 저항의 직렬, 병렬 연결의 계산을 다들 알 것이다. 저항이 직렬로 연결되었을 때는 각각 저항값들을 더하고 병렬로 연결되었을 때는 각각의 저항값들의 역수를 더하고 그 값을 다시 역수 취한것과 같다.

다음과 같이 직렬이 연결되어 있을 때,

전체 저항 다음과 같다.

반대로 다음과 같이 직렬이 병렬로 연결되어 있을 때,

전체 저항은 각각의 저항값들의 역수를 더하고 그 값을 다시 역수 취한것과 같으므로 1 / (1 / R1 + 1 / R2)일 것이고

이를 쉽게하면 다음과 같다.

만약 같은 저항값을 가지는 저항들이 병렬로 연결되어 있다면 어떻게 될까?

동일한 저항 2개가 있다면

위의 저항 병렬 계산식에 맞추어 (R*R) / (R+R)이 되어 R^2 / 2R이 될것이다.

즉 다음과 같은 식이 나오게 된다.

이번에는 동일한 값을 가지는 저항 3개가 있다.

먼저 저항 두개를 병렬계산하면 R/2가 되고 R/2와 R과 병렬계산을 하면 된다. ((R/2)*R) / ((R/2)+R)이므로 (R^2/2) / (3R/2)라는 식이 도출된다.

이 식을 풀면 다음과 같은 식이 나온다

따라서, 동일한 저항값을 가지는 저항들의 병렬 연결의 전체 저항은 저항값에서 병렬 연결된 저항의 갯수만큼 나눈것과 같음을 알 수 있다.

2) 인덕터의 직렬, 병렬

 인덕터의 직렬, 병렬 연결의 인덕턴스 계산은 저항과 같다. 인덕터가 직렬로 연결되어있을 때는 각각의 인덕턴스를 더하고, 병렬로 연결되었을 때는 각각의 인덕턴스들의 역수를 더하고 그 값을 다시 역수 취한것과 같다

다음과 같이 직렬로 연결되어 있을 때,

전체 인덕턴스는 다음과 같다.

반대로 인덕터들이 병렬로 연결되어 있을 때는,

저항과 똑같이 계산하면 된다.

3) 커패시터의 직렬, 병렬

 커패시터의 직렬, 병렬 연결의 커패시턴스 계산은 저항과 반대이다. 커패시터가 직렬로 연결되어있을 때는 각각의 커패시턴스들의 역수를 더하고 그 값을 다시 역수 취한것과 같으며, 커패시터가 병렬로 연결되었을 때는 각각의 커패시턴스를 더한것과 같다,

다음과 같이 직렬로 연결되었을 떄,

전체 커패시턴스는 저항과 반대로 계산하면 된다.

반대로 커패시터들이 병렬로 연결되었을 때,

저항과는 반대로 각각의 커패시터들의 커패시턴스를 더하면 된다.

Analysis practice

 이번 포스팅에서도 옴의 법칙을 가지고 간단한 수동(Passive)회로를 계산해 보겠습니다. 회로는 다음과 같이 2개의 회로입니다.

1) 1개의 Vdc와 3개의 저항이 있는 회로

 다음의 회로는 1개의 전압원(Vdc)와 3개의 저항으로 이루어져 있습니다.

차후에 공부할 키르히호프의 전압법칙에 의해 각 부품에 걸리는 전압을 모두 합하면 그 총합은 '0'이 됩니다.

위의 회로를 해석한다면 어떻게 될까요? 

 이 회로에 옴의 법칙을 적용한다면 전압과 저항의 값은 나와있습니다. 그러므로 전압과 저항의 값을 통해 전류 값을 구할 수 있을것입니다.

I = V / R에 의해 전압은 6V, 전체 저항값은 직렬로 연결되어 있기 때문에 1k + 2k + 3k를 하면 6k의 값을 갖게 됩니다. 그러므로 전류는 1mA의 값을 가지게 됩니다. Pspice 시뮬레이션을 통하여 전류가 1mA가 흐르는 것을 볼 수 있습니다. 그리고 각 저항에 걸리는 전압은 V = I * R을 통하여 전압을 구할수 있습니다. 저항 R1에 걸리는 전압은 1mA * 1k, 저항 R2에 걸리는 전압은 1mA * 1k를 그리고 R3에 걸리는 전압은 1mA * 3k를 계산하여 구할 수 있습니다. 이를 통하여 저항 R1에 걸리는 전압은 1V, R2에 걸리는 전압은 2V, 마지막으로 저항 R3에 걸리는 전압은 3V라는 것을 알 수 있습니다.

 그런데 시뮬레이션 결과를 보면 이상한 점이 느껴지실 것입니다. 저항 R1 왼쪽은 3V의 전압이 나오는데 오른쪽에는 2V의 전압이 적혀져 있습니다. 이는 첫 포스팅에서 이유를 찾을 수 있습니다. 저항 R1 왼쪽에는 3V, 오른쪽에는 2V라는 전압을 가지고 있으므로 3 - 2의 계산으로 1V라는 전위차가 발생합니다. 이 1V의 전위차가 저항 R1 양단에 걸린 전압입니다.

 그러나 시뮬레이션 결과는 이것만 이상한 것이 아닙니다. 저항 R3를 보면 -3V의 전압을 가지고 있음을 볼 수 있습니다. 전압값을 계산할 때는 접지(GND)를 기준으로 계산을 하게됩니다. 전압원 V1은 저항 R1방향이 (+)전압, 저항 R3방향이 (-)전압을 가지고 있습니다. 그리고 접지(GND)는 저항 R3와 R2의 사이에 있습니다. 그러므로 전압은 접지(GND)를 기준으로 저항 R2방향은 전압원 V1의 (+)전압이, 저항 R3방향은 전압원 V1의 (-)전압이 걸리게 됩니다.

2) 1개의 Idc와 3개의 저항이 있는 회로

 다음 회로는 1개의 전류원(Idc)와 3개의 저항을 갖는 회로입니다. 다음의 회로도 옴의 법칙을 적용하여 저항에 걸리는 전압을 알 수 있습니다.

전류와 저항의 값을 알고 있으므로 우리는 V = I * R의 식을 가지고 저항 양단에 걸리는 전압을 알 수 있습니다. 

위의 회로를 해석한다면 어떻게 될까요? 

 V = I * R에 의해 회로에 흐르는 전류는 1mA, 전체 저항값은 직렬로 연결되어 있기 때문에 1k + 2k + 3k를 하면 6k의 값을 갖게 됩니다. 이를 계산한다면 6V의 전압값을 갖습니다. 그러므로 회로에 나타나는 전체 전압은 6V의 값을 가지게 됩니다. Pspice 시뮬레이션을 통하여 회로의 전체 전압이 6V가 된다는 것을 알 수 있습니다. 그리고 각 저항에 걸리는 전압은 V = I * R을 통하여 전압을 구할수 있습니다. 저항 R1에 걸리는 전압은 1mA * 1k, 저항 R2에 걸리는 전압은 1mA * 1k를 그리고 R3에 걸리는 전압은 1mA * 3k를 계산하여 구할 수 있습니다. 이를 통하여 저항 R1에 걸리는 전압은 1V, R2에 걸리는 전압은 2V, 마지막으로 저항 R3에 걸리는 전압은 3V라는 것을 알 수 있습니다.

 이번 회로도 보시다 시피 접지(GND)를 기준으로 저항 R6에 -3V 전압이 걸려 있다는 것을 알 수 있습니다. 첫 포스팅의 Voltage, Current, Ground의 설명에서 모든 전류는 GND로 흐르게 된다고 설명을 했습니다. 전류원 I1은 저항 R4를 향하여 전류가 흐르고 있고 이 전류는 저항 R4와 R5를 지나 접지(GND)로 흐르게 됩니다.

 그렇다면 저항 R6에는 어떤 전류가 걸려있을까요? 첫번째 회로를 해석할 때와 마찬가지로 해석을 하면 됩니다. 접지(GND)를 기준으로 저항 R4와 R5에는 (+)전류가, 저항 R6에는 (-)를 띄는 전류가 흐르게 됩니다. 그러므로 저항 R6에는 -3V의 전압을 띄게 되는 것입니다.

 만약 접지(GND)를 저항 R6과 전류원 I1의 사이로 옮기면 어떻게 될까요?

 전류원 I1에 나타난 방향으로는 (+)전류가 흐를 것입니다. 그 (+)전류는 저항 R4, R5, R6를 통과하여 GND로 흐를 것입니다. 그러므로 저항 R6에는 전압 3V가 걸리게 될것입니다. 그렇다면 전류원의 반대 방향으로 나오는 (-)전류는 어디로 흐를까요? GND가 전류원 I1과 저항 R6의 사이에 있으므로 전류원과 GND사이에는 어떠한 소자도 있지 않습니다. 따라서 (-)전류는 GND로 바로 흐르게 되는 것입니다.

이는 시뮬레이션을 통하여 볼 수 있습니다.

Analysis practice

 이번 포스팅에서는 옴의 법칙을 가지고 간단한 수동(Passive)회로를 계산해 보겠습니다. 회로는 다음과 같이 4개의 회로입니다.

1) 1개의 Vdc와 1개의 저항이 있는 회로

 다음의 회로는 1개의 전압원(Vdc)와 1개의 저항으로 이루어져 있습니다. 수동소자를 분석할때는 옴의법칙을 사용합니다.

전압과 저항의 값을 알고있기 때문에 우리는 I = V/R이라는 식을 가지고 전류를 계산할수 있습니다.

  I = V/R 이므로 전압은 1V, 저항은 1k옴을 갖고있습니다. 이를 옴의 법칙에 대입합니다. 이는 I = 1/1k식을 가지고 이를 계산 한다면 전류 I를 구할수 있습니다. 즉 전류 I는 1mA의 값을 갖습니다. 본 회로를 시뮬레이션을 돌려보면 저항 R1에 1mA가 흐른다는 것을 알 수 있습니다.

2) 1개의 Idc와 1개의 저항이 있는 회로

 다음 회로는 1개의 전류원(Idc)와 1개의 저항을 갖는 회로입니다. 다음의 회로도 옴의 법칙을 적용하여 저항에 걸리는 전압을 알 수 있습니다.

전류와 저항의 값을 알고 있으므로 우리는 V = I * R의 식을 가지고 저항 양단에 걸리는 전압을 알 수 있습니다.

 회로는 전류는 1mA, 저항 1k옴을 가지고 있습니다. 식 V = I * R에 대입한다면 이는 V = 1m * 1k의 식이 되고 계산하면 전압 V를 알 수 있습니다. 즉 저항 양단에는 1V의 전압을 갖습니다. 본 회로를 시뮬레이션을 돌려보면 저항 R2에 1V의 전압이 걸린다는 것을 볼 수 있습니다.

3) 2개의 Vdc와 1개의 저항이 있는 회로

 이번 회로에는 2개의 Vdc와 1개의 저항을 갖습니다. 회로의 왼쪽 단에는 2V의 전압이, 오른쪽 단에는 1V의 전압을 갖습니다.

첫 포스팅에서 설명 했듯이 전류는 높은곳에서 낮은곳으로 흘러갑니다. 그리고 전압의 극성은 전류가 들어가는 쪽이 (+), 나가는 쪽이 (-)극성을 갖습니다.

그렇다면 저항 R3에는 어느정도의 전압을 가지게 될까요?

 저항을 기준으로 왼쪽으로는 2V의 전압이 들어오고 오른쪽에는 1V의 전압이 들어오고 있습니다. 그리고 양쪽의 극성은 반대입니다.

그러므로 왼쪽은 + 2V -, 오른쪽은 - 1V +의 극성을 가지고 있습니다. 각각을 더하면 저항 R3에는 왼쪽단을 기준으로 + 1V -의 전압을 갖게 됩니다.

여기서 구한 전압을 가지고 옴의법칙을 적용한다면 I = 1V / 1K의 식이 나타납니다.

즉 저항 R3에는 왼쪽에서 오른쪽으로 1mA의 전류가 흐른다는 것을 알 수 있습니다. 본 회로를 시뮬레이션을 돌려보면 저항 R3에 1mA의 전류가 흐르는것을 볼 수 있습니다.

4) 2개의 Vdc와 1개의 저항이 있는 회로

 이번에는 3번 회로와 반대로 2V의 전압이 저항 R4의 오른쪽에 1V의 전압이 왼쪽에 걸려있습니다.

그렇다면 저항 R4에는 얼마의 전압이 걸리게 될까요?

 저항을 기준으로 왼쪽으로는 1V의 전압이 들어오고 오른쪽에는 2V의 전압이 들어오고 있습니다. 그리고 양쪽의 극성은 반대입니다.

그러므로 왼쪽은 + 1V -, 오른쪽은 - 2V +의 극성을 가지고 있습니다. 각각을 더하면 저항 R4에는 왼쪽단을 기준으로 - 1V +의 전압을 갖게 됩니다.

여기서 구한 전압을 가지고 옴의법칙을 적용한다면 I = 1V / 1K의 식이 나타납니다.

즉 저항 R4에는 오른쪽에서 왼쪽으로 1mA의 전류가 흐른다는 것을 알 수 있습니다. 본 회로를 시뮬레이션을 돌려보면 저항 R4에 1mA의 전류가 흐르는것을 볼 수 있습니다.

 이번 포스팅에서 가장 중요한 실습은 3번과 4번 회로입니다. 3번과 4번 회로를 통하여 저항의 양단에 걸리는 전압의 극성은 전류가 들아가는 쪽이 (+)극성, 나오는 쪽이 (-) 극성을 가지게 된다는 것을 알 수 있습니다. 이는 전류가 높은 전압에서 낮은 전압으로 흐르기 떄문입니다.

1. Voltage, Current, Ground 정의

 전압은 물의 흐름을 따지면 수압이며 그리고 전류는 수압 차에 의한 물의 흐름이다. 또한 저항은 물이 흐르는 송수로의 직경으로 볼 수 있습니다.

물의 흐름에는 물 분자가 있는데 이는 전류에 있는 전하로 볼수있고 전하는 전자화 홀이 있습니다.

 그림에서 보다시피 바다는 접지이며 물의 흐름과 같이 모든 전류는 접지로 흐릅니다.

바다의 높이를 수위 0[M]로 보듯이 접지는 0[V]의 전위를 갖습니다.

2. 옴의 법칙(Ohm's Law)

 옴의 법칙은 저항에 걸린 전아과 저항에 흐르는 전류의 상관관계를 나타내는 법칙입니다.

 저항(R)에 전류(I)가 흐르면 저항의 양단에는 V라는 전압이 걸립니다. 이때 전압의 극성은 전류가 투입되는 쪽이 +, 나가는 쪽이 -가 됩니다.

이를 수식으로 표현한다면 다음과 같은 식이 도출됩니다.

그리고 임의의 저항(R) 양단에 걸리는 전압이 V이고 그 저항의 몸통에 흐르는 전류가 I라면 저항값은 다음과 같이 도출됩니다.

마지막으로 임의의 저항(R) 양단에 걸리는 전압이 V이고 그 저항의 몸통에 흐르는 전류가 I라면 저항값은 다음과 같이 도출됩니다.

이때 전류는 물의 흐름과 같이 높은 전위에서 낮은 전위로만 흐르게 됩니다. 따라서 전류의 방향에 따라 저항 양단에 갈리는 전압의 극성도 달라집니다. 즉 전류가 들어가는 쪽이 (+), 전류가 나오는 쪽이 (-) 극성을 띄게 됩니다. 

따라서 V = I * R에서 V는 저항 양단 간의 전압 즉 △V가 의미적으로 정확한 표현입니다.